top of page
הרשמו לידיעון המקוון שלנו

קבלו עידכונים על מאמרים חדשים והתרחשויות אחרות

תודה על הרשמתך

השתתפו במסע אופן הזמן

Ofan Logo a.png

מסע רב חושי בנבכי הזמן, שבו המרבד העשיר של הציוויליזציות הקדומות מתעורר לחיים ושואב אותנו אל תוכו.  

גיאומטריה מקודשת: המבנים הסודיים של היקום

מילון קיימברידג' האנגלי מגדיר את הגיאומטריה כ"תחום המתמטיקה המתייחס לחקר המרחב וליחסים בין נקודות, קווים, עקומות ומשטחים". הגדרה זו משתלבת יפה עם המחקר האקדמי של גיאומטריה, המבוסס על רציונליזם. עם זאת נטען שיש צד הפוך אך משלים לתחום מחקר זה. לפי תפיסה זו, לגיאומטריה יש צד אינטואיטיבי, וצורות גיאומטריות ופרופורציות מסוימות מכילות משמעות מקודשת. אמונה זו עשויה להיחשב כבסיס לגיאומטריה המקודשת. ניתן למצוא את הרעיון והיישום של גיאומטריה מקודשת בתרבויות רבות ברחבי העולם.

מקובל להאמין שגיאומטריה התחילה כנושא מעשי, ונוצרה כתוצאה מעניינים יומיומיים. המתרגלים המוקדמים ביותר של גיאומטריה פיתחו מערכת כללים לחישוב אורכים, שטחים ונפחים. עם זאת, רבים מהם היו קירובים גסים, והתבססו על ניסוי וטעייה. לפי הרודוטוס, הגיאומטריה בוססה על ידי המצרים הקדומים. הדבר נתמך בעדויות כתובות ממצרים עצמה. אף על פי כן, ידוע שגם המסופוטמים הקדומים עסקו בגיאומטריה, וכך גם הסינים וההודים הקדומים.


בסביבות המאה ה-6 לפנה"ס, היוונים מצאו עצמם מעורבים בגיאומטריה, והפכו אותה מנושא מעשי לנושא מופשט המבוסס על הכללות. הענף זה של המתמטיקה קיבל את שמו מהיוונים, שכן הוא שילוב של שתי מילים יווניות, גיאו (אדמה/קרקע) ומטרון (מידה). למרות שהיו הוגים יוונים ורומיים רבים שתרמו לנושא, לאף אחד לא הייתה השפעה גדולה יותר מאוקלידס, שלעתים קרובות נחשב לאבי הגיאומטריה. אוקלידס חי באלכסנדריה בין המאות ה-4 וה-3 לפנה"ס, והוא ידוע בעיקר בזכות חיבורו היסודות. חיבור זה נחשב לאחת היצירות המשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה. למרות שנהוג לחשוב שהוא מכיל רק גיאומטריה, היסודות של אוקלידס עסק גם בתחומים אחרים של מתמטיקה, כלומר תורת המספרים האלמנטרית וקטעים ללא מידה משותפת.

יסודות של אוקלידס, שקטע ממנו מוצג כאן, הוא אחת היצירות המשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה

היסודות של אוקלידס היא דוגמה טובה לגישה הרציונלית והאקדמית ללימוד הגיאומטריה. כפי שהוזכר קודם לכן, היו הוגים נוספים בעולם הקלאסי שתרמו לחקר הגיאומטריה, חלקם נקטו בגישה שונה לנושא זה. הוגים אלו ראו משמעויות סמליות ומקודשות בגיאומטריה, ולכן ניתן להתייחס לתחום המחקר שלהם כגיאומטריה מקודשת. קבוצה מההוגים הללו היו הפיתגוראים, שאסכולת הפילוסופיה שלהם נוסדה על ידי פיתגורס מסאמוס.


כיום, פיתגורס ידוע בעיקר בזכות משפט פיתגורס, הקובע כי "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר". למרות שנקרא על שמו של הפילוסוף היווני, המשפט למעשה עתיק הרבה יותר. לדוגמה, מספר לוחות חימר בבליים המתוארכים בין השנים 1900 ל-1600 לפנה"ס מראים ידע מסוים של המשפט, והם מוזכרים גם בסוטרות השולבה ההודיות (Shulba Sutras), שנכתבו בין 800 ל-400 לפנה"ס. אף על פי כן, הקשר של משפט זה עם הפיתגוראים הולם באופן מסוים, שכן נראה שהם התעניינו במיוחד במשולשים.


אין זה פלא אם כן שהפיתגוראים המציאו סמל המבוסס על משולש בגיאומטריה מקודשת הידוע כטטרקטיס (Tetractys), או tetractys of the decad (tetractys פירושו "ארבע", ו-decad פירושו "עשר"). סמל זה מורכב מעשר נקודות המסודרות בארבע שורות, וכך נוצר משולש שווה צלעות. הטטרקטיס מלא במשמעות סמלית. לדוגמה, כל שורת נקודות אמורה להכיל משמעות נסתרת. השורה הראשונה, שיש בה נקודה אחת, מייצגת את העיקרון הפעיל, או הכוח האלוהי מאחורי כל הבריאה; השני, העיקרון הפסיבי, או החומר; השלישי, העולם היוצא מאיחוד העקרונות הפעילים והפאסיביים; והרביעי, ארבעת האמנויות והמדעים החופשיים המשלימים את העולם.

טטרקטיס (Tetractys), או tetractys of the decad (tetractys פירושו "ארבע", ו-decad פירושו "עשר")

באופן טבעי, הטטרקטיס אומץ על ידי הפיתגוראים כסמלם. באסכולת אתונה של רפאל, פיתגורס מתואר לצד ארכימדס, שמוצג אוחז בלוח. החלק העליון של הלוח מציג את חוק ארכימדס, בעוד התחתון את הטטרקטיס, מחווה לפיתגוראים. עם זאת, הטטרקטיס לא היה סמל פיתגוראי גרידא, והייתה לו השפעה גם על הגיאומטריה המקודשת של תרבויות אחרות. הודגש, למשל, שארבע אותיות הטטרגרמטון (השם המפורש) עשויות להיות מסודרות כטטרקטיס.


הפיתגוראים, כמובן, לא היו היחידים שהתעניינו במשולשים. לדוגמה, חלונות משולשים הם מחזה נפוץ בכנסיות נוצריות. אולם בהקשר זה, המשולש מייצג את השילוש הקדוש. כדוגמה נוספת, למשולשים יש גם ערך סמלי בתנועת העידן החדש. משולש שמצביע כלפי מעלה, למשל, עשוי לייצג אנרגיה גברית, ואת ההתעלות למישור הרוחני, ואילו הפונה למטה את האנרגיה הנשית, והירידה לעולם הפיזי. שילוב של שני המשולשים הללו, היוצר הקסגרמה, עשוי להתפרש כהשגת הרמוניה.

פיתגורס מתואר לצד ארכימדס, שמוצג אוחז בלוח. החלק העליון של הלוח מציג את חוק ארכימדס, בעוד התחתון את הטטרקטיס.

מלבד המשולש, צורות רבות אחרות היו חדורות במשמעות סמלית, מה שהופך אותן לחלק מהגיאומטריה המקודשת. כמו המשולש, לצורות אלו עשויות להיות משמעויות שונות הנקשרות אליהן, בהתאם לקונטקסט שבו הן נוצרו. המעגל, למשל, נמצא בתרבויות שונות ברחבי העולם, ולכן מכיל משמעויות רבות. הפיתגוראים, למשל, תפסו את המעגל כסמל של אחדות, איחוד ואי-התחלקות. עבור זן בודהיסטים, המעגל הוא סמל להארה, בעוד שהסינים התייחסו לצורה זו כסמל של הרקיעים. בנוסף, המעגל משמש באופן כמעט אוניברסלי כסמל לשמש. באסטרונומיה המודרנית, הגוף השמימי הזה מיוצג כמעגל עם נקודה באמצע.


ניתן לחזור על המעגל כדי ליצור סמלים חדשים. אחד מהם, למשל, הוא הוסיקה פיסקיס (המשמעות המילולית "שלפוחית השתן של הדג"), שנוצר מחיתוך שני מעגלים בעלי אותו רדיוס, שהמרכז של כל אחד מהם נמצא על היקפו של האחר. אומרים שההצטלבות של שני מעגלים בוסיקה פיסקיס מייצגת הבנה הדדית, חזון משותף או בסיס משותף בין שני פרטים שווים. הוסיקה פיסקיס בתורו עשוי לחזור על עצמו על מנת לייצר יותר סמלים.

וסיקה פיסקיס

שישה וסיקה פיסקיס המסודרים באופן רדיאלי סביב מעגל מרכזי, או שישה מעגלים סביב השביעי, כולם באותו רדיוס, מייצרים רוזטה עם שישה עלי כותרת, המכונה גם זרע החיים. מכיוון שסמל זה מכיל שבעה מעגלים, הוא פורש כמייצג את הבריאה. על ידי חזרה על הרוזטה בעלת ששת עלי הכותרת, ניתן ליצור סמל נוסף, פרח החיים. פרח החיים הוא סמל עתיק יומין, והוא מתואר באתרים קדושים שונים ברחבי העולם. עבור אחדים, סמל זה מייצג את הסדר האלוהי, המתמטי של היקום.

גיאומטריה מקודשת כוללת גם פרופורציות גיאומטריות. אחד הידועים שבהם הוא יחס הזהב, המוכר בשמות רבים אחרים, כולל פי, הפרופורציה האלוהית וחתך הזהב. ניתן להגדיר את יחס הזהב באופן הבא: "שני גדלים a ו-b מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם".


במתמטיקה, זהו מספר אי רציונלי המיוצג על ידי האות היוונית φ (phi). ערכו הוא בערך 1.618, נגזר מהמשוואה הריבועית




למרות שיחס זה תואר לראשונה על ידי אוקלידס, הוא כונה כ"זהב" רק הרבה יותר מאוחר, כלומר בשנת 1835, כאשר הוא סומן ככזה על ידי המתמטיקאי הגרמני מרטין אוהם (Martin Ohm). אגב, גם במהלך המאה ה-19 ניתנה ליחס האות היוונית φ כדי לייצג אותו. האות הוקצתה על ידי המתמטיקאי האמריקאי, מארק בר (Mark Barr).


ככל הנראה, היוונים הקדומים גילו שיחס הזהב סיפק את "הפרופורציה האסתטית ביותר של צלעות של מלבן", ונטען כי יישמו אותו בארכיטקטורה שלהם. נטען, למשל, שחזית הפרתנון באתונה תוכננה לפי יחס הזהב. זה נתון במחלוקת, כפי שצוין, לדוגמא, שהטענה אינה נתמכת במדידות ממשיות, וכי הפרתנון נבנה כמאה שנה לפני לידתו של אוקלידס.


יחס הזהב השיג את המוניטין הידוע שלו רק בתקופת הרנסאנס, הרבה אחרי שתואר לראשונה על ידי אוקלידס. בשנת 1509, המתמטיקאי האיטלקי לוקה פאצ'ולי כתב ספר בשם De divina proportione (המתורגם כ"על הפרופורציה האלוהית"), שחקר את קונספט יחס הזהב. בנוסף, הספר אויר על ידי לאונרדו דה וינצ'י, שנטען כי השתמש ביחס הזהב באופן נרחב ביצירותיו. האדם הוויטרובי של הפולימט, למשל, נטען לעתים קרובות כי צויר על פי יחס הזהב, אם כי גם צוין שאין הוכחה קונקרטית שתתמוך בטענה זו. כמו כן, נטען כי יחס הזהב קיים בטבע, אם כי גם זה לא לגמרי נכון. דוגמה פופולרית היא צמיחת קונכיית הנאוטילוס, שטוענים כי ניתן לראות בה את יחס הזהב. עם זאת, הודגש כי הקונכיה צומחת ב"ספירלה המסתובבת בזווית קבועה לכל אורכה", וכי זווית קבועה אינה שווה ליחס הזהב.

קונכיית הנאוטילוס

בכל מקרה, יחס הזהב הוא מושג משמעותי בגיאומטריה המקודשת, ונטען שהוא מופיע הן בטבע והן ביצירותיו של האדם. הפירמידה הגדולה, היצירות המוזיקליות של מוצרט וצמיחת הצמחים אמורים כולם לעקוב אחר יחס הזהב. כתוצאה מכך, יחס זה זכה לערך סמלי. לדוגמה, נאמר שיחס הזהב "קושר באופן סמלי כל דור חדש לאבותיו, ומשמר את המשכיות היחסים כאמצעי לחזרה על השושלת שלו".


לפאונים (Solids), כלומר לצורות תלת מימדיות, גם יש מקום בגיאומטריה המקודשת. הפאונים הנפוצים ביותר בגיאומטריה המקודשת הם מה שנקרא פאונים אפלטונים/משוכללים (Platonic solids). למרות שאפלטון לא יצר את הפאונים הללו בעצמו, הם נקראים על שמו, כפי שהוא מזכיר את המונח בדיאלוג שלו טימאיוס. בעבודה זו דן הפילוסוף היווני בחמישה סוגים שונים של פאונים, שהם הטטרהדרון, ההקסדרון (או הקוביה), האוקטהדרון, הדודקהדרון והאיקוסהדרון, שיש להם ארבעה, ששה, שמונה, שתים עשרה ועשרים פנים בהתאמה.


אפלטון מקשר בין הפאונים שלו לארבעת היסודות הבסיסיים. הטטרהדרון, למשל, ייצג אש, בשל פינותיו החדות והקצה שלו, בעוד שההקסדרון היה מקושר עם אדמה, בשל סדירות ארבעת הריבועים. האוקטהדרון והאיקוסהדרון, שניהם מורכבים ממשולשים, מייצגים אוויר ומים בהתאמה. לבסוף, הדודקהדרון הוקצה על ידי אפלטון לרקיע, שכן שנים עשר פניו המחומשים התכתבו עם שתים עשרה קבוצות הכוכבים. לפיכך, באמצעות חמשת הפאונים הללו, יצר אפלטון תיאוריה של היקום.

חמשת הפאונים האפלטונים (Platonic solids)

הפאונים האפלטוניים נמצאים גם ביסודות של אוקלידס, אם כי, בניגוד לאפלטון, נראה שהמתמטיקאי התעניין פחות בתכונותיהם הסמליות. במקום זאת, אוקלידס, בחלקו האחרון של היסודות שלו, מתאר את הפאונים בצורה מתמטית, ומוכיח שקיימים בדיוק חמישה פאונים רגילים. השימוש של אפלטון בחמשת הפאונים כדי להסביר את היקום זכה בהתעלמות במאות שלאחר מכן, וזכה לתחייה רק במהלך המאה ה-16 על ידי האסטרונום הגרמני יוהנס קפלר. מאז, הפאונים האפלטוניים עשו את דרכם לגיאומטריה המקודשת, וקיבלו ערך סמלי נוסף. לדוגמה, הפאונים נקשרו לקונספט ההינדי של צ'אקרה, המרכזים של האנרגיה הרוחנית בגוף. ההקסדרון, למשל, נקשר עם צ'אקרת הבסיס, האוקטהדרון עם צ'אקרת הלב והאיקוסהדרון עם צ'אקרת המין.


לסיכום, גיאומטריה מקודשת הייתה אמצעי חשוב להסבר העולם סביבנו. גיאומטריה מקודשת אומצה על ידי תרבויות שונות לאורך ההיסטוריה, וממשיכה להיות מיושמת בעידן המודרני. חסידי הגיאומטריה המקודשת מאמינים שענף זה של המתמטיקה מחזיק במפתח לפיצוח סודות היקום. לעומת זאת, מבקרים טענו כי הנתונים עשויים להיות מותאמים כך שיתאימו לתיאוריות. במילים אחרות, אפשרי עבור חסידי הגיאומטריה המקודשת ליישם את אמונותיהם על כל דבר.

מקורות:

227 צפיות0 תגובות

Comments


בקרו בחנות שלנו

הגמל המעופף מביא לכם פריטים יוצאי דופן ומותרות של ימי קדם אל מפתן דלתכם, כמו גם כלים ועזרים למסעות מחקר והרפתקה.

Site banner copy_edited.png
bottom of page