ממסייאן ועד רדיוהד: איך מוזיקה משתמשת במספרים ראשוניים

מה הקשר בין מוזיקה קלאסית אוונגרדית ללהקת רדיוהד? מספרים ראשוניים! מלחינים משתמשים במספרים כמו 17 ו-29 כדי לשבור את הקצב (4/4) וליצור תחושת על-זמניות. זה כמו גלגלי שיניים שנועדו לעולם לא להתיישר. קראו איך המתמטיקה של מסייאן הגיעה ישירות לגיטריסט של רדיוהד, ואיך זה יוצר את הצליל הבלתי-אפשרי שלהם.

מאת: Marcus du Sautoy מקור: BigThink

המתמטיקאי הבריטי מרקוס דו סאוטוי (Marcus du Sautoy) התאהב במוזיקה של אוליבייה מסייאן בשנות העשרה המאוחרות שלו, לאחר שסוף שבוע אחד הקדישה התזמורת הצעירה בה ניגן לנגינה של הסימפוניה שלו, טורנגלילה. כנראה שזה היה שיא הקריירה שלו כחצוצרן. זה היה חייב להיות - תפקיד החצוצרה היה קשה בצורה מטורפת. כל היצירה הייתה מורכבת. משקלים מוזרים שברו את מבני הקצב של שלוש או ארבע פעימות שהם היו רגילים אליהם. אבל הוא זוכר שנשאב לחלוטין לאקסטזה הטהורה שמסייאן הצליח לכלוא בתוך הצלילים.

אותו סוף שבוע בתוך עולמו הצלילי של מסייאן שינה לו את תפיסת המוזיקה. לא עבר זמן רב והוא התחיל לחקור מעבר לאותה יצירה מונומנטלית, ומסייאן הפך במהרה למלחין האהוב עליו במשך שנים. בתקופה ההיא הוא השאיל מהספרייה המקומית דיסק של רביעייה לקץ הזמן - יצירה קאמרית עדינה שהייתה שונה לחלוטין מהסימפוניה שהם ניגנו, אך גם בה הוא נשבה לגמרי.

שנים הוא לא הצליח לנסח לעצמו את המבנה המשונה ששמע בפרק הראשון. איך מסייאן הצליח ליצור את האפקט המסקרן הזה בפסנתר, שבו גם הקצב וגם ההרמוניה חזרו על עצמם באופן סדיר - אך כשהם משתלבים, הדפוס נעלם? מה היה הסוד שלו? רק כשהשיג את התווים הוא הצליח להבין את התכנית שמסייאן השתמש בה. והתשובה התבררה כקשורה לאחת האהבות האחרות שלו כנער: מספרים ראשוניים.

בפרק הראשון, מסייאן רצה ליצור תחושה מוזרה של קץ הזמן. והוא עשה זאת בצורה עוצרת נשימה. הזמן תלוי בדברים שחוזרים על עצמם, ולכן הוא נדרש לבנות מבנה שבו לעולם לא שומעים את רגע החזרה האמיתי. בזמן שהקלרינט מחקה קולות של שחרור והכינור של זמיר, הפסנתר מנגן רצף קצבי סינקופטי של 17 תווים החוזר שוב ושוב. אך רצף האקורדים שהפסנתרן מנגן, על פי אותו רצף קצבי, מורכב מ־29 אקורדים, שגם הם חוזרים שוב ושוב.

דפוסים חוזרים כאלה עלולים להוביל לשעמום ולצפיה מראש - אך לא במקרה הזה. הבחירה של מסייאן במספרים 17 ו-29 יוצרת משהו כמעט קסום… או מתמטי. מדובר במספרים ראשוניים, ואי התחלקותם ההדדית מבטיחה שהקצב וההרמוניה שיצר לעולם לא יתיישרו שוב.

שני הרעיונות המוזיקליים מתחילים יחד, אך כאשר רצף הקצב בן 17 התווים מתחיל את מחזורו השני, רצף האקורדים עודנו מתקדם באמצע דרכו - ליתר דיוק, ב־17/29 ממחזורו. וכאשר רצף האקורדים מתחיל את מחזורו השני, עוד נותרו חמישה תווים לסיום המחזור השני של הקצב. כך נשמר הפער ביניהם. רק אחרי שתשמעו 17×29 = 493 אקורדים - שנמצא כבר אחרי סיום היצירה - השניים חוזרים להתיישר.

זה כמו שני גלגלי שיניים: אחד עם 17 שיניים והשני עם 29. הם יסתנכרנו שוב רק אחרי 493 סיבובים. למעשה, גם במכונות נהוג להשתמש בגלגלי שיניים עם מספר שיניים ראשוני, כדי להבטיח שכל שן תפגוש שיניים שונות וכך הבלאי יתפזר באופן שווה.

אם הייתם בוחרים אחרת - למשל 18 תווים קצביים מול 30 אקורדים - אז אחרי 90 אקורדים הכול חוזר להתאים, כי 90 מתחלק גם ב־30 וגם ב־18. אבל השימוש ב־17 וב־29 הראשוניים מונע את ההתאמה הזאת, ולכן היצירה מסתיימת בלי רגע חזרה אמיתי. זה מה שיוצר אצל מסייאן תחושת על-זמניות. המוזיקה מתקדמת, אך חוסר החזרה גורם לזמן לעמוד מלכת.

ולא רק זאת - מסייאן מוסיף "גלגל שיניים" שלישי: הצ’לו חוזר על רצף של 15 הרמוניות, נגד מה שעושה הפסנתר. מישהו אפילו חישב שיידרשו שעתיים שלמות כדי שהשלישייה תעבור על כל האפשרויות. בפועל, הפרק נמשך פחות משלוש דקות.

רעיון גלגלי השיניים היה ההשראה של דו סאוטוי לאנימציה שיצר עם האמן סיימון ראסל (Simon Russell), כדי להמחיש את המתמטיקה שמסתתרת בפרק הראשון של רביעיית קץ הזמן. האנימציה מתחילה בגן מתמטי, אך ככל שהמצלמה מתרחקת במהלך היצירה, מתברר שהגן הוא בעצם כלא - רמז למקום בו בוצעה היצירה לראשונה.

בלב האנימציה נמצאת קופסה מוזיקלית שבתוכה גלגלי שיניים בעלי מספרים ראשוניים - השולטים במבנה ההרמוני והקצבי. הוא הופיע עם האנימציה לצד מוזיקה חיה, ונדהם כל פעם מחדש מהיכולת של המוזיקאים לשמור על תיאום מושלם עם גלגלי השיניים - למרות שהיו מרוכזים בפרטיטורה.

האם מסייאן היה מודע למשמעות המתמטית של המספרים האלה? הוא שאל את המלחין ג'ורג' בנג'מין, שעבד עם מסייאן בשנותיו המאוחרות, על הכשרתו המתמטית. בנג’מין סבר שמסייאן גילה את המספרים הראשוניים בעצמו. המשחק שלו עם מספרים הוביל אותו אינטואיטיבית להבנה שמספרים ראשוניים שומרים על חוסר תיאום.

הכוח של המספרים הראשוניים ליצור דיסוננס אומץ גם על ידי אמנים עכשוויים. מרבית מוזיקת הפופ המערבית נשענת על הספרה 4. מעריכים שיותר מ־90% מכל שירי הפופ נכתבו במשקל 4/4. זה נקרא לעיתים “משקל נפוץ” ("common time") ומסומן פשוט באות C גדולה בראש התווים. הסיבה לכך היא ששירי פופ מיועדים לריקוד, וזוגיות מתאימה למין האנושי שרוקד על שתי רגליים. אבל יש מוזיקאים שאוהבים להפר את הציפייה הזאת.

רדיוהד הם אולי הלהקה המודרנית שהשתמשה בצורה העקבית ביותר במשקלים ובקצבים חריגים. השימוש שלהם במספרים ראשוניים להפרת הסדר אחראי לא פחות מכל גורם אחר לעולם הצליל הייחודי שלהם. נסו לספור את הקצב ב־Everything in Its Right Place - בלתי אפשרי. השם אירוני, כי שום דבר לא נמצא בקצב “הנכון”. המעברים בין 5, 4 ו־6 פעימות יוצרים צליל גלי, כאילו נע ברוח - קשה לרקוד, אבל אפשר להתנדנד.

גם Paranoid Android עושה משהו דומה - קופץ בין 8 ל-7 פעימות, לעולם לא נותן לרצף להתייצב. כל פעם שמופיעות 7 פעימות, יש תחושת שיבוש מוזיקלי. לא מפתיע לגלות שהגיטריסט ג'וני גרינווד, שכתב חלק ניכר מהמוזיקה של רדיוהד, התאהב גם הוא במסייאן - בזמן שניגן בתזמורת הנוער המקומית שלו.